Andrea Russo Math

Un piccolo cambiamento di rotta…

Martedì, 30 Giugno, 2009 a 18:28 (Analisi Matematica 1, Matematica)
Tags: Analisi Matematica 1, Matematica, Notizie sul blog, Teoria

A partire da oggi ho deciso di apporre un cambiamento, forse drastico ma inevitabile, alle pagine di questo blog. Da oggi infatti questo spazio inizialmente dedicato alla teoria di analisi matematica, passerà totalmente allo svolgimento di esercizi, presi dal già citato libro “Esercizi di analisi matematica 1″ degli autori Catania e Caponetto, edizioni CULC. Questo perchè ritengo più opportuno e più indicato per questo blog, fornire un qualcosa di più diretto, utile e fruibile come può essere lo svolgimento di un esercizio, da quello più facile a quello più particolare. Non che la teoria non sia utile e fruibile, soltanto che il mondo è pieno di libri, pagine web ed enciclopedie in grado di colmare il fabbisogno di teoria matematica. Strada facendo ho capito che un blog piccolo e poco aggiornato come questo non poteva avere la pretesa troppo grande di fornire teoria di analisi a chi la cercava. Sarebbe stato troppo presuntuoso da parte mia. Da qui l’inutilità.
Spero invece che gli esercizi che svolgerò (che saranno tutti quelli che nel libro sono indicati come “esercizi proposti”. Nei post saranno indicate le pagine e i numeri.) servano veramente a qualcuno per capirne un pò di più su questa materia. Grazie ancora!

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Disequazioni irrazionali

Martedì, 30 Giugno, 2009 a 17:34 (Analisi Matematica 1, Matematica)
Tags: Analisi Matematica 1, Disequazioni, Matematica, Teoria

In questo nuovo post, mi occuperò di dare le note regole pratiche per risolvere le disequazioni irrazionali, cioè quelle che possiamo riconoscere dalla presenza di una radice. Le disequazioni possono essere di due tipi:

$a)\sqrt[n]{A(x)}<B(x)$ $b)\sqrt[n]{A(x)}>B(x)$

Supponendo che n sia un numero intero dispari, si possono elevare ad n entrambi i membri delle disequazioni, in modo da diventare rispettivamente:

$a)A(x)<\left [ B(x) \right ]^{n}$ $b)A(x)>\left [ B(x) \right ]^{n}$

Supponendo invece che n sia un numero intero pari, per risolvere le disequazioni a e b bisogna impostare due sistemi.
Per a:

$a)\left\{\begin{matrix} A(x) &\geq&0 \\ B(x) &>&0 \\ A(x)&<&\left [ B(x) \right ]^{n}\\ \end{matrix}\right.$

Per b:

$b)\left\{\begin{matrix} A(x) &\geq&0 \\ B(x) &<&0 \\ \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} B(x) &\geq&0 \\ A(x)&>&\left [ B(x) \right ]^{n}\\ \end{matrix}\right.$

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Il numero di Nepero

Venerdì, 14 Novembre, 2008 a 12:42 (Analisi Matematica 1, Matematica, Programmi)
Tags: Codici sorgenti, Costante e, Matematica, Numero di Nepero, Programmi C++

Vi propongo questa “formula”:

$a_n = (1 + \dfrac{1}{n})^n \qquad \mbox{con} \quad n \in \mathbb{N}$

Questa scrittura, per chi non avesse mai studiato in maniera approfondita la materia, potrebbe significare poco o nulla. Per gli altri, studiosi e appassionati, è una delle scritture più importanti della storia della matematica. Infatti il:

$\lim_{n\to \infty} (1 + \dfrac{1}{n})^n = \displaystyle e \cong 2,71828 \dots$

Questo limite dà il numero $\displaystyle e$ che è chiamato costante di Nepero, dal nome del matematico scozzese John Napier.
Il numero, irrazionale trascendete, approssimato alle sue prime 55 cifre decimali è:

$e \cong 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 \dots$

Utilizzando questa approssimazione, ho realizzato un programma in C++ che permette di calcolare i primi n termini scelti dall’utente della successione $a_n = (1 + \dfrac{1}{n})^n$ . Il programma, inoltre, per ogni termine dà il discostamento del termine con la costante approssimata vista prima.

Per scaricare il programma cliccate qui
Per scaricare il sorgente cliccate qui

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Disequazioni razionali fratte

Lunedì, 10 Novembre, 2008 a 13:06 (Analisi Matematica 1)
Tags: Analisi Matematica 1, Disequazioni, Matematica

Dati due polinomi a coefficenti reali, nella variabile reale x, $A(x), B(x)$ , si dice disequazione razionale fratta una disequazione del tipo:

$\dfrac{A(x)}{B(x)}>0\qquad \biggl(\mbox{risp.} \quad \dfrac{A(x)}{B(x)}<0\biggl) \qquad (1)$

Il problema dunque consiste nel determinare i numeri reai $\lambda$ , se esistono, per cui il rapporto $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ fra i due polinomi $\bigl($ definito per $B(x)\neq 0\bigl)$ sia positivo (risp. negativo).

Notiamo che il problema posto è equivalente alla seguente disequazione:

$A(x)\cdot B(x)>0 \qquad \bigl(\mbox{risp.} \quad A(x)\cdot B(x)<0\bigl) \qquad (2)$

Segue allora, che il problema (1), ovvero il problema (2), è equivalente ai due sistemi:

$I) \begin{cases}A(x)>0\\ B(x)>0 \end{cases} \qquad \cup \qquad II) \begin{cases}A(x)<0\\ B(x)<0 \end{cases}$

$\Biggl(\mbox{risp.}\qquad I)\begin{cases}A(x)>0\\B(x)<0\end{cases}\qquad\cup\qquad II)\begin{cases}A(x)<0\\B(x)>0\end{cases}\Biggl)$

Detti rispettivamente $S, S_1, S_2$ gli insiemi delle soluzioni della (1), del sistema (I) e del sistema (II), si ha pertanto:

$S=S_1 \cup S_2$

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Sistemi di disequazioni razionali

Domenica, 9 Novembre, 2008 a 19:16 (Analisi Matematica 1)
Tags: Analisi Matematica 1, Disequazioni, Matematica

Risolvere un sistema di disequazioni di questo tipo:

$\bigg \{ \begin{array}{rl} A(x)>B(x) & \mbox{ (1) } \\ C(x)>D(x) & \mbox{ (2) } \\ \end{array}$

dove $\mbox{A(x), B(x), C(x), D(x)}$ sono polinomi a coefficenti reali nella variabile $x$ , significa risolvere indipendentemente le disequazioni $\mbox{(1)}$ e $\mbox{(2)}$ trovando rispettivamente le soluzioni $S_1$ e $S_2$ . La soluzione del sistema è data da: